참고문헌) Pearson, E. S. and Kendall, S. M.(1978). Studies in the History of Statistics and probability, Vol. I and II, Charles Griffin and Co Ltd.

    Dicing and Gaming(A Note On the History of Probality) by F. N. David.

주사위에 대하여

1. 동물의 복사뼈는 주사위의 조상?

복사뼈의 형태

   발의 복잡한 골격 구조를 이루는 뼈 중에서 발목뼈 바로 위의 뒤꿈치에 놓여 있는 뼈가 있는데, 이것을 '복사뼈(astragalus)'라고 부른다. 사람처럼 진화된 발을 갖고 있는 동물들의 복사뼈는 매우 불규칙적이다. 그러나 양, 염소 등과 모든 종류의 사슴과 같은 유제류의 동물에 있어서 복사뼈는 대강 대칭적으로 생겼다. 그 복사뼈는 단면이 거의 삼각형이고, 양 끝면이 둥글게 생겼는데, 한쪽은 약간 볼록하고 다른쪽은 약간 오목하다. 이 뼈들은 견고하고 근본적으로 골수가 없으며, 단단하고 내구력이 있다. 그리고 각 모서리가 1인치 또는 그 보다 약간 작은 정육면체의 모양을 하고 있으며, 손질을 하면 매우 윤기를 띠게 할 수 있다.

                <sheep>                      <dog>

역사속의 복사뼈

  선사 시대의 유적지를 발굴하는 고고학자들이 작은 유제류 동물의 상당히 많은 복사뼈 무더기를 발견하는 것은 드문 일이 아니다. 때로는 다양한 색깔의 작은 돌을 발견하게 된다. 이와 같은 뼈와 조약돌을 선사 시대 사람들이 부신을 위한 돌이나 계수기로, 그리고 그들 자신과 어린이들의 장난감으로 사용했었다고 추측하는 것은 타당하게 느껴진다. 선사 시대에 복사뼈가 이와 같은 용도로 사용되었다는 사실은 단지 추측에 불과하지만, 기원전의 고대 바빌로니아와 이집트 사람들과 그리스와 로마 사람들 사이에서 복사뼈의 용도 중 하나가 어린이의 장난감이었다는 사실은 의심의 여지가 없다. 모든 곳의 어린이들이 복사뼈들을 갖고 놀이를 했다는 증거가 있다.
   때로는 네 개의 복사뼈를 손가락 위에 올려놓고 균형을 잡고는, 공중에서 손을 뒤집어 그것들을 위로 띄웠다가, 떨어질 때 다시 잡는 놀이를 했다. 또한, 그리스 시대의 꽃병 그림에서 알 수 있는 바와 같이, 오늘날 어린이들이 공깃돌을 이용해서 놀이하는 것과 비슷하게, 때로는 복사뼈를 땅 위에 그려진 원 속에 던져 넣기도 했다.
  어른들이 어린이들의 장난감을 채택했든지 아니면 어린이들이 어른들의 놀이를 흉내냈든지에 관계없이, 이집트의 첫째 왕조(기원전 3500년경)까지 복사뼈들은 여러 가지 놀이에서 사용되었다. 그와 같은 놀이중에는 던진 복사뼈가 떨어지는 것에 따라서 '사람들'이 널빤지 위를 돌아다니는 놀이가 있다.
   이집트의 어떤 무덤 그림은 죽은 위에 어떤 귀족이 놀이판을 자신의 앞에 놓고 복사뼈를 던지기 전에 그것을 손가락 끝에서 조심스럽게 균형을 잡고 있는 모습을 보여주고 있다. 오늘날 프랑스와 이탈리아의 어린이들은 아직까지도 복사뼈들을 갖고 놀이를 하고 있으며, 그와 같은 뼈 모양을 한 쇳 덩어리들을 동네 가게에서 구입할 수 있다.

2. 놀이로서의 확률 - 확률게임(chance game)

  놀이판이나 말을 갖지 않고 주사위만을 사용하는 놀이로서의 도박이 나타났을 것이고, 두 개 이상의 주사위를 던져서 합계를 얻는 기회 또는 확률을 고려하는 것은 자연스러웠을 것이다. 그래서 비록 고대 그리스의 철학자들이 상당히 자세하게 필연성과 우연성에 대해서 논의했지만, 확률에 대한 연구의 시작은 어떤 도박 경기, 특히 주사위 놀이에서의 가능성을 평가하려는 시도에서 나타났다고 말하는 것이 아마도 정확할 것이다.
  최초의 원시적인 주사위는 복사뼈의 둥근 양면을 평평하게 갈아서 만들었다는 것은 거의 확실하다. 주사위의 면을, 동글게 조각할 수 있는 도구를 사용해서 작고 얕은 구멍을 여러 개 뚫어서 다양하게 표시했다.
  복사뼈는 보통 그리스와 로마의 게임에서 사용되었다 (그시대의 문학을 참조해보면 알수 있다). 주요한 게임중 하나는 4개의 복사뼈를 함께 던져서 어떤 면이 맨 위에 떨어지는지 하는 게임이다. (참고로, 복사뼈는 착지할수 있는 4개의 면이 있다)
  그리고 Nicolas Leonicus Thomeus 에 의한 일반적인 계산법은 넓고 볼록한 윗면을 4, 넓고 움푹 들어간아랫면을 3, 좁고 평평한 옆면을 1, 좁고 움푹들어간 또 다른 옆면을 6 이라고 계산하는 것이다. 양의 복사뼈의 측면은 P1.2 에서 보여진다.
  그림, 테라코다(양질의 점토로 구워낸 토기류)등으로부터 복사뼈가 그리스의 고리던지기에서 사용되었다는 것을 알수 있다. 귀족이 게임을 하고 있는 한 그림이 있는데 그의 손가락 끝에서 복사뼈가 정확히 균형을 이루고 있는 것과 그의 앞에 'mem(헤브라이어 알파벳의 13자)'을 가진 널판지를 볼 수 있다.
  1800 B.C. 의 전형적인 게임은 'Hounds and Jackals' 이다 (P1.1에서 입증됐듯이). 그 게임은 현재의 'Snakes and Ladders' 와 비슷해 보인다. 'Hounds and Jackals' 은 복사뼈를 던져서 rule에 따라 이동하는 게임이다. 이 게임은 첫왕조(c.3500 B.C.)때부터 행해졌을 것이다.

3.주사위의 등장

  주사위의 기원은 세계각국에서 옛날부터 사용되었던 것만은 확실한데, 가장 초기의 주사위는 북이라크에서 발굴되었다고 알려져 있고, 잘 구어진 담황색 도기처럼 묘사되고 있다. 주사위의 점들은 그림 2(i) 에서 보여지는 것처럼 배열되어 있다. 점들은 순서 규칙이 있는데 2의 대면이 3, 4의 대면이 5, 6의 대면이 1 이다.
  고대 인도에서 발굴된 주사위는 딱딱한 담황색 도기로 만들어져 있는데, 그 점들의 규칙은 또한 연속적이다. 그러나 이번에는 1의 대면이 2, 3의 대면이 4, 5의 대면이 6 으로 이루어져 있다.
  이집트의 XVIII 왕조 때에 (B.C. 1400) 주사위는 그림 2(ii)의 형태이다. 점'5'의 배열이 좀 특이하다.  이 시기에 다른 곳에서는 숫자의 배열이 그림(vi)과 같은 주사위가 발견된다. 그림에서 볼 수 있듯이 7을 반대쪽 두 곳으로 분할해 놓은 배열(즉, 대면끼리의 합이 '7'인 배열)을 가지고 있다. 이것은 오늘날까지 고립되고 있다.
  현재 수집된 50개의 고대의 주사위는 크리스탈, 상아, 사암, 철광, 나무 등의 재료로 만들어진 것이 있고 그 중 40개는 대면끼리의 합이 '7'인 배열을 가지고 있다.  AD 12C 그리스주교는 주사위의 점이 마크될 수 있는 방법에 대해 적었다. 그리고 16C 노름꾼이 말하길, 주사위의 배열은 주사위의 숫자가 모두 마크되었는지, 중복된 숫자가 없는지 체크하기 쉽게 하기 위해 선택되었다고 한다.
  비록 속임수를 위해 사용되었었지만 그림(iii)과 같은 주사위도 있었다.그리고 B.C. 3400 - B.C.1150 사이 왕조시대에 현재의 것과 똑 같은 것이 있었고 이것이 그리스, 로마, 지중해 연안지방으로 전래되었다. 인도에도 인더스 문명기의 것으로 추정되는 주사위가 발견되었는데. 1의 대면이 2, 3의 대면이 4, 5의 대면이 6으로 되어 있는 것이 발견되었다.
   중국에서는 육각주상의 나무 조각의 각 면에 문자를 새겨 이것을 굴려 신의를 점쳤고, 수ㆍ당 때에는 현재의 것과 같은 주사위를 사용한 '쌍륙'이라는 놀이가 있었다. 17세기경부터 유럽에서는 다이스(주사위)게임이 성행 및 보급되었으며, 이어 미국을 비롯한 세계 각국으로 퍼졌다.
  이집트에서 사용된 주사위는 XVIII th 왕조의 것임이 분명하다. 확실하지는 않지만, 그 주사위는 Ptolemaic 왕조(그리스에서 기원한)가 도래하기까지는 일반적인 것이 아니었다. 단단한 갈색 석회암으로 만들어졌으며 측면이 1 inch 이다. 이 시기의 몇몇 주사위는 6개의 면위에 Osiris, Horus, Isis, Nebhat, Hathor, Horhudet 라고 새겨져있는데 이것은 점을 치는데 사용되었을 것이다.
   영국의 주사위는 그리스도 때, 초기의 나라에서 발견된다. 주사위는 4각형인 동물의 긴뼈를 몇 개로 잘라 정육면체로 만들어서 생성된다. 그 뼈골은 그림 (iv)에서 스케치된 대략의 그림처럼 사각기둥에 구멍을 파냄으로써 빼낸다. 이 초기의 주사위는 대면끼리의 합이 '7'인 배열을 가지고 있다.

4.각 나라의 주사위게임

(1) 한국의 14면체 주사위게임

안압지에서 나온 등잔 심지를 자르는 가위, 그림을 새긴 뼈로 만든 자, 길이 15cm의 남근(男根) 등은 당시 궁중 생활의 단면을 잘 보여주고 있다. 또한 14면체에 56자가 새겨진 주사위는 놀이 풍속을 보여주고 있다.

  통일 직후는 우리 나라 와전사에서 하나의 전환점이 된다. 삼국의 전통에 당의 문화가 자극이 되어 다채로운 무늬, 다채로운 양식의 기와와 전돌이 만들어지게 되었다.종래의 단순소박한 단판과 연꽃무늬 양식에서 벗어나 연판의 내부에 자엽이 새겨지고 주연부에 구슬무늬가 배치되면서 복판, 중판, 혼판 등으로 변천한다. 무늬도 보상화(寶相華), 인동(忍冬), 초화(草花) 등의 식물, 봉황, 기린, 사자, 가릉빈가(迦陵頻伽) 등 벽사와 길상을 의미하는 새나 짐승의 무늬가 등장한다.

(2) 중국의 주사위게임

쌍륙은 두 사람이나 두 편이 각자 15개의 말을 가지고 2개의 주사위를 굴려 나오는 사위대로 판 위에 말을 써서 먼저 나는 사람이 이기는 놀이이다. 이를 한자로는 <쌍륙雙六> 또는 <쌍륙雙陸>으로 표기하며, 다듬은 나무(말)를 쥐를 논다고 하여 <악삭>으로 쓰는 일도 있다.

놀이의 형태가 장기와 윷의 중간적 위치로 설명되는데, 즉 장기의 행마와 같은 작전과 윷사위 같은 요행수가 맞아떨어져야 좋은 내용의 놀이를 할 수 있는 것이다.

쌍륙은 오래 전부터 우리 나라에 전래되어 왔으나, 그 기원이나 유래를 정확히 밝히는 것은 불가능하다.

다만, 문헌에 백제시대에 있었다고 하며, 조선시대에 와서는 여러 민속화에 쌍륙 두는 모습이 등장하고, 특히 매월당 김시습의 <쌍륙>이란 시조로 보아 이 놀이는 민간에 널리 퍼져 있었음을 알 수 있다. 이에 대한 기록은 중국 송나라 때의 학자 홍준의 ≪쌍륙보≫와 ≪재물보≫·≪조선왕조실록≫·≪조선부≫·≪유한잡록≫ 등에 이에 대한 기록이 보인다.

한편 외국의 경우, 가장 오래된 쌍륙 형태의 놀이가 발견된 것은 바빌로니아의 아브라함 성지로 B.C 3000년경에 제작된 놀이판이 출토되었다. 그 이후로 나일 강변의 피라미드, 고대 그리스, 그리고 로마 제국 시대의 여러 유적 및 폼페이 시의 여러 가정의 정원에서 쌍륙판을 발굴하였으나 아직 정확한 쌍륙의 발생지를 밝힐 수 없으나 지금의 중국 지역이 그 발생지가 아니겠는가 라는 일반적인 견해가 있다.

놀이방법은 우리 나라에 있어 전지역에 따라 다르며, 쓰는 말도 일정하지 않다. 쌍륙은 말판과 여러 개의 말 그리고 2개의 주사위가 필요하다. 주사위는 투자라고도 하는데, 상아 따위의 뼈를 각 변의 길이가 1cm 쯤 되게 육면체로 깎고, 6면에는 점으로 1에서 6까지를 새겨서 표시하였다.

(3) 터키의 주사위게임

  터키에서 유래된 주사위 놀이로써 이 게임의 목표는 게임판 위에 모든 말을 올려 놓고, 상대 선수보다 말을 먼저 치우는 것이다. 한 선수는 오른쪽으로 가고, 다른 선수는 왼쪽으로 간다. 그러나 상대 선수가 당신이 돌아다니기 전에 당신 말을 뛰어넘어 갈 수가 있다.
  이 게임은 누구나 어느 장소에서나 할 수 있으며, 이 게임을 위해 필요한 것은 둥그런 점수 기록판, 주사위, 그리고 게임판이 전부이다. 게임판은 바깥쪽 가장자리를 따라 검은 색과 하얀 색의 삼각형으로 구성되어 있으며, 각 부분 부분들도 검은 색과 하얀 색으로 구성되어 있다.
  터키에서 행해지는 많은 게임들이 또한 미국에서도 행해지고 있는데, 주사위 놀이는 아주 재미있는 놀이중 하나이다. 주사위 게임과 유사한 게임으로는 체커가 있다.이 게임의 룰 또한 사람들을 뛰어넘을 수 있다. 그러나 게임판 밖으로 나갈 수는 없다.

(4) 다면체 주사위게임

  Musee de Lourre 에 있는 rock crystal 로 만든 20면체의 주사위가 있는데 I에서 X에 이르는 아라비아숫자가 각 면에 있고 그것 위의 숫자들은 10씩 증가함을 알 수 있다. 숫자 LXXX는 없고 숫자 XX는 두 번이나 나타난다. 이것은 그림2(v)에 잘 나타나있다.
  정육면체 주사위를 두들겨서 만들어 졌을 것이라고 생각되는 18개의 면을 가진 주사위도 있으며 14개의 면을 가진 주사위도 마찬가지다.
  한편, 위조된 주사위도 알려져 있는데, 어떤 한 숫자를 적지않고 다른 숫자를 중복시키는 주사위도 있었다. 또, 그것과는 별도로 속이 빈 주사위도 로마시대에서 발견된다. 표면에 움직일수 있는 작고 둥근 plate를 만들어서, 가죽공을 이 속이 빈 주사위에 넣어서 주사위가 의도된 방향을 떨어지게끔 하는 것이다.

(5) 로마의 주사위게임

로마는 어떤 특별한 기간을 제외하고는 게임을 금지하는 법이 있었을 정도로 로마인들의 도박에 대한 열정을 대단하였다. 그러므로 로마에서 행해졌던 게임에 대해서 살펴보기로 하자. 일반인들에게 행해졌던 게임이 무엇이었는지는 알 수 없으나 황제에 의해 행해졌던 게임에 대해서는 많은 참고문헌이 있다.
 「Suetonius's Life of Augustus」: 그(아우구스투스)는 도박에 대한 평판으로부터 조금도 위축되지 않았으며, 도박을 즐겼던 것으로 알려져있다. 그는 12월 뿐만 아니라 휴일에도 평일에도 도박을 즐겼다. 그의 자필로 쓴 글을 보면 그가 말하길, '나는 Tiberius랑 식사를 하며 어제부터 오늘까지 노인들처럼 도박을 했다. 주사위가 던져졌을 때 'dog'나 6이 나오게 되면 그 사람은 각 주사위의 움푹 패인 곳에 은화를 두고 'Venus'가 나온 사람이 그 전부를 가지는 것이다.
 「Suetonius's Life of Claudius」: Claudius 도 주사위 놀이에 매우 열심이었다는 것을 책을 통해서 알수 있다. 심지어 그는 운전하는 동안에도 그의 차에 특별히 고정된 판자위에 주사위를 던져서 놀았다고 알려져있다.

점(占)에 대하여

점을 치는 다양한 사례

신에게 어떤 자문을 얻는 체계는 그의 바램을 털어놓을 기회를 얻는 것이며, 그것은 모든 종교발전의 토대가 된다. 주술적인 종교적 예식에서 '신성한' 판단을 내리기 위해 주사위 던지기나 항아리에서 구슬 꺼내기 등을 하였다.

사례 1) 감리교의 창시자인 John Wesley는 결혼의 여부를 제비뽑기로 결정하였다.

사례 2) 오늘날 원시 부족들의 고대 그리스, 로마 시대를 흉내낸 사례
  다양한 모양과 색깔을 지닌 조약돌, 화살촉, 복사뼈나 주사위는 모두 종교적 의미를 시 험하는데 사용되어졌다.

사례 3) 사원에서는 제비뽑기로 점을 쳤다.
- 원칙은 하나였는데, 질문이 나오면 제비뽑기를 하고 그러면 그 속에서 신의 대답을 끌어 내었으며, 그 결과는 신의 일시적 기분에 의해서 완전히 제어된다고 느꼈다.

사례 4) 그리스, 로마시대의 노름꾼
 로마 황제들과 그 주위의 한가한 부유층 사람들은 도박에 대한 열정을 갖고 있었다. 클라우디우스(Claudius, 기원전 10-기원후 54)는 주사위 놀이에 대단히 탐닉했으며, 불행하게 현존하지 않지만, '주사위 놀이에서 승리하는 방법(How to Win at Dice)'이라는 제목의 책을 출판하기도 했다는 이야기가 있다.
  그들은 통상적으로 4개의 복사뼈를 사용하였는데, Venus가 던져지면 성공한 것이고 개 모양이 나오면 실패한 것으로 생각하였다. 성직자 또는 탄원자들은 서책들을 참조하여 4개의 뼈를 던져서 해석하였다. 던져서 나온 결과에는 모두 신의 이름이 주어진다. 예를 들어, 15라는 결과가 나오게 되면 다음과 같이 해석한다.

도박과 확률에 대하여

1.16세기 확률론

  매우 유명한 인도주의자 Leonicus와, 확률계산법에 대한 언급이나 어떤 시도없이 가능성 게임에 관하여 저서한, 대단한 천문학자 Calcagnini, 그리고 Gerolamo Cardano도 있었다. 15세기 말과 16세기 초까지 확률론에 대한 진정한 수학적 취급은 없었다고 말하는 것이 적절할 것이다.
당시 이탈리아 수학자들이 주사위 놀이와 같은 도박 경기에서 승산을 계산해보려는 시도가 있었다. 카르다노는 매우 간단한 수학적 확률의 일면이 포함된 도박자를 위한 간결한 안내서를 썼다.
그러나 확률론의 기원으로 간주할 수 있는 하나의 문제는 소위 '독립의 문제'라는 사실에 일반적으로 동의하고 있다. 이 문제는 똑같은 정도의 기술을 가진 두 경기자 사이에서 경기가 중단되었을 경우에 판돈의 분배를 결정하는 방법을 요구하고 있다. 이 때 중단된 시간의 두 경기자의 득점을 알고 있고 그 경기에서 이기는데 필요한 득점도 알고 있다고 가정한다.

2. 확률론 기초를 세운 카르다노

  도박에 얽힌 이야기 중 빼놓을 수 없는 전설적 인물이 있다. 17세기에 와서 확률 이론이 개발되기 훨씬 전에 도박 게임들을 수학적으로 처음 분석한 이탈리아의 수학자 카다노(Cardano)가 바로 그 사람이다.
'도박하는 학자'라는 별명을 가졌던 카다노는 1520년쯤 '도박 게임에 관한 책'(The Book on Games of Chance)을 저술하기도 했는데, 그가 죽은 한참 후인 1663년에 출판된 이 책은 확률론의 기초를 세운 것으로 평가되기도 한다.
사생아인 카다노는 의과대학을 뛰어난 성적으로 졸업했지만 성격이 괴팍했다. 그래서 중심지인 밀라노에서는 개업하지 못하고 조그만 시골에서 초라하게 병원을 시작할 수밖에 없었다.
수학과 의학 말고도 다른 과학 분야에 뛰어났던 카다노는 출판된 저술만도 131편, 원고만으로 남긴 글은 111편, 그리고 (자서전에 따르면) 스스로 불에 태워 없애 버린 글도 170여 편이나 됐다.
  해박한 지식을 바탕으로 한 그의 강연은 많은 상류층을 매료시켰고, 이탈리아 의사협회의 부패상을 폭로한 그의 글은 일반 대중의 호응을 얻었다. 카다노는 결국 여론의 힘을 얻어 밀라노에서 개업하게 되었고, 그 당시 유럽에서 가장 유명한 의사로 이름을 날렸다. 그는 교황을 포함한 수많은 상류층 인사를 치료했고 대주교를 진찰하기 위 해 당시로는 엄청난 거리인 영국까지 왕진을 가기도 했다.
  그러나 무엇보다도 카다노는 광적인 도박꾼이었다. 그는 '도박 게임에 관한 책'을 통해 노름은 적당히 즐겨야 하며 도박을 멀리 하라고 권했지만, 정작 본인은 도박 중독자였다. 자서전을 통해 카다노는 자신의 도박 행위에 대하여 다음과 같이 밝혔다.
"나는 어려서부터 수없이 도박을 했다. 가끔이나 자주도 아닌, 40 년 세월을 하루도 안 빼고 노름을 했다. … 왜 도박에 빠졌는지는 변명의 여지가 없다. 굳이 누군가 나를 변호한다면, 내가 도박 게임 자체를 좋아한 것은 아니었고, 도박에 빠지게 한 환경(나에 대한 허위 음모, 가난, 사회의 불공평, 비리 등을 겪어야 했던)을 탓해야 한다고 할 수 있을 것이다. 게임 자체가 재미있어 도박에 빠지지 않았다는 점은 내가 사회적으로 존경받는 지위에 오르게 되면서 곧 도박을 끊을 수 있었다는 것으로도 입증할 수 있다."
   오늘날 사회심리학자들은 중독성 도박자들의 공통점으로 감정적 불안, 현실 기피 현상 등 정신적 문제를 꼽고 있다. 카다노가 도박 중독에 대해 평탄치 못한 환경에서 오는 불안정한 심리 때문인 것으로 스스로 관찰한 것을 볼 때 거의 5백년 전이나 지금이나 사람 심리는 별로 바뀐 것이 없다는 것을 볼 수 있다.
  카다노는 또 둘째 아들에게 도박을 가르친 것을 두고두고 후회했다. 이 아들이 도박과 관련된 절도 혐의로 감옥살이를 하게 되었기 때문이었다. 그런가 하면, 그의 장남은 아버지의 뛰어난 두뇌를 물려받은 장래가 촉망되는 의사였다.
  그러나 어쩌다 바람둥이 여자와 결혼,끝내 아내의 불륜을 참지 못하고 아내를 독살했다. 가장 사랑하는 아들이 살인범으로 처형당하는 비통을 겪어야 했던 카다노는 과거를 잊으려는 듯 볼로냐 의과대학 교수로 부임하기 위해 밀라노를 떠났다.
  수학에서 카다노가 이룬 가장 중요한 업적은 3차방정식 근을 발견한 것인데, 이 공식에 얽힌 소설과도 같은 사연도 그의 파란만장한 인생의 또 하나의 장을 이룬다.
  만약 그 시대의 유행을 따르는 Cardano가 그의 제자들과 게임에 관하여 토론하지 않았다면 이상한 일이다. 표절의 비난에 대한 두려움, 표절되는 것에 대한 두려움들이 그를 침묵하게 만들었을지도 모른다.
하지만 그의 논문의 전체적인 색깔은 실용적인 것이라는 점이다. : 유리한 조건에 내기를 거는 게임에 대한 실제적 충고들이 큰 부분을 차지하고 있다.
  Liber de Ludo Aleae가 1663년까지 출간되지 않았다는 사실을 볼 때, 사후 카르다노의 생각들은 이탈리아 학자들에게 일반적 지식이 되지 말았어야 하는지에 대한 이유가 되었다. 그리고 갈릴레이가 주사위게임에 대한 그의 토론에 토를 달게된 이유도 될 것이다.

질문)

• 대영박물관에 소장되어 있는 몇 종류의 주사위와 이들을 이용한 실험에 대하여 알아보자.
• 통계학사에서 주사위, 점, 도박이 끼친 영향에 대해서 논의해 보자.
• 카르다노가 통계학사에서 차지하는 면을 논의하여 보자.
• 파스칼이 연구한 주사위 문제에 대하여 알아보자.