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이 글은 통계학과내의 "평균과 분산"이라는 소학회의 지도교수로 있을 때 발표된 것이다. 어느날 부터인지는 정확히 기억나지는 않지만 현대과학의 대혁명을 가져왔고 세간에 많이 읽히는 책(?)에 대한 선전이 하루도 걸러지 않고 신문의 한 지면을 차지하고 있었다. 이 책은 제임스 글리크(James Gleick)가 쓴 카오스(CHAOS: MAKING A NEW SCIENCE)이다. '과학의 미래는 전적으로 카오스 이론에 달려 있다' 등 이 책에 관한 많은 서평은 접어두기로 하자. 나는 이 책에서 베노이트 만델브로트라는 부지런한 수학자를 만났다. 그는 '꼬인 실뭉치는
몇 차원인가?'라는 질문에서 출발하여 어떤 물체의 실제 차원은 3차원과
다르다는 자신의 생각을 거쳐 프랙탈(Fractal)이라는 이론에 이른 것이다.
이 때가 1975년 겨울 어느날 오후였고 2000년간 지속된 유클리드 기하학을
거부한 것이다. 이는 일찍이 천문학에서 지동설과 같은 인식론의 대전환이었다.
프랙탈이라는 단어가 비록 아들의 라틴어 사전을 뒤적이다 만들어낸
것이지만 오늘날 눈송이곡선으로부터 불연속적인 은하계의 먼지에 이르기까지
불규칙하고 조각나 있으며 들쭉날쭉한 형상에 대해 묘사하고 생각하는
방법을 나타내는 말이 되었다. 언젠가 신문에서 프랙탈 이론에 근거한
컴퓨터 프로그램이 산을 그려내는 그림을 본 적이 있다. 기존의 인식론을 거부하여 프랙탈 이론을 정립한 그였지만(사실 많은 분야에 관심을 기울였고 자신의 경력을 들을 때마다 자신의 존재까지도 의심할 정도였다) 1960년대 소득분포 문제로 골몰하였다. 관념의 허상처럼 느껴졌던 문제가 하버드대학 경제학과 노교수인 후세커의 연구실의 칠판에 그려져 있음을 보고 깜짝 놀랐다 한다. 실제 노교수의 그림은 8년 동안의 면화의 가격을 나타내고 있었고 그는 가격변동이 종형모형이 되지 않음을 안타까와 했다 한다. 다시 말해서 면화의 가격이 단기적으로는 다소 임의로 변동할 수는 있지만 큰 변동이 너무 많았고 가격분포는 빨리 줄어 들지 않는 긴 꼬리를 가졌다 한다. 이 내용을 통해 면화 가격의 분포를 통계학적 관점에서 정규분포와 비교해보면 자료의 중심(산술평균)에 대해 왼쪽으로 긴꼬리를 가졌고 솟아 있음이 매우 낮은 모양임을 유추할 수 있다. 만약에 자료를 표준화하여 표준정규분포와 비교한다면 왜도(Skewness)는 매우 낮고 첨도(Kurtosis)또한 꽤 낮다고 여겨진다. 다시 만델브로트 이야기로 돌아오자. 필자의 생각에 만델브로트는 후세커에게 칠판의 그림을 그린 방법에 대해서 물었고 후세커는 면화가격의 변동을 구간을 나누어 그 구간내의 돗수를 구하고 상대돗수를 이용하였다고 친철하고 성실하게 답했을 것이다. 그러면서 노교수 후세커는 왜 면화의 가격변동이 종형모양이 되지 않는지를 불평(?)했을 것이다. 이당시 경제학자들의 일반적인 믿음은 상품의 가격 변동은 임의성과 질서를 가진다는 것이었고 이는 변동이 정규분포에 가까운 표준모형을 이룬다는 것이었다. 여기서 비록 경제학 지식이 빈약한 만델브로트는 다음과 같은 의문을 제기한다.
만델브로트는 별개의 형태를 보이는 다른 법칙들이 임의적인 확률현상을 지배할 수 있을 것이라는 특유의 직관을 동원했다. 그 법칙은 정규분포의 한 특징이자 장점이기도 한(통계비용 측면에서) 대칭성이다. 그러나 만델브로트는 정규분포에서 쉽게 볼 수 있는 좌우대칭이 아니라 대규모와 소규모간에 대칭성이 존재해야만 한다고 확신한 것이다. 면화가격 자료를 꼼꼼하게 분석한 만델브로트는 그의 직관이 들어 맞음에 흥분했다(필자의 생각). 비록 정규분포의 관점에서 볼 때 변이를 초래한 숫자들(통계학에서는 이상치라 한다)는 규모의 관점에서 볼 때 대칭성을 보인 것이다. 다시말해서 그가 살펴본 자료는 1900년 이후의 면화가격으로 제 1차 세계대전(1914-1918)과 제 2차 세계대전(1939- 1945)과 1929년 세계 대공황 동안의 변동이 일정함을 발견했던 것이다. 매우 무질서한 자료에서 예기치못한 질서를 찿아낸 것이다. 만델브로트의 이와 같은 실험정신이 1970년대 이후 미국과 유럽의 몇몇 과학자들의 노력으로 과학의 구조를 새로운 관점에서 재조명하는 카오스의 밑거름이 된 것이다. 여기서 만델브로트에게 카오스를 제공한 정규분포에 대해서 스티글러(Stigler, 1986)의 History of Statistics 중심으로 몇가지만 덧붙이고 잡담을 마무리 하자. 정규분포(normal distribution)는 일명 1) 가우스 분포, 2) 라플라스 분포, 3) 가우스-라플라스 분포, 4) 라플라스-가우스 분포라 불린다. 이는 정규분포가 알려지게 되는 역사적인 배경에 기인한다. 1773년 더 모아브러(De Moivre)의 이항분포에 대한 근사확률로부터 시작하여 1777년 라플라스(Laplace)에 의해 어떤 모형의 오차항이 오늘날 이중지수분포(일명 Laplace 분포)가 됨을 발견하였고 오늘날의 정규분포를 수학자 가우스(Gauss)가 제안하였고 이를 가우스 분포라 했다. 따라서 같은 수학자로서 만델브로트가 정규분포를 몰랐다기 보다는 그당시 경제학자들의 일반적인 믿음을 몰랐기(? 혹은 무시했기) 때문에 의문을 제기할 수 있었다. 이런 비정통성이 카오스의 역사에서 그를 지울 수 없는 원천이라 생각된다. 다시 정규분포 이야기로 돌아가자. 사실 라플라스의 이중지수분포는 곧 가우스에 의해서 수정되었다. 이들 두사람은 미지의 선형식에서 극한정리와 선형추정사이의 관련성에 대해 놀랄만한 성과를 거두는데 영향을 서로 끼쳤던 것이다. 그리고 이들의 업적을 기리기 위해 정규분포를 가우스-라플라스 분포 혹은 라플라스-가우스 분포로도 부르고 있다. 그러나 엄격이 따져 칼 피어슨(Karl Pearson, 1926)등 몇몇 통계학자들은 1773년 더 모아브러의 근사확률을 정규분포를 나타내는 정규곡선의 원조로 여긴다. |
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