통계학사 강의 5)

강의 5) 파스칼과 페르마: 도박에서 시작된 확률론

그들은 1654년 함께, 확률론에 대한 이론을 정립하였다. 이는 1654년 7월부터 10월까지 그들 사이에 주고받아졌던 7장의 서신내용을 토대로 한다. 파스칼이 페르마에게 보냈던 3장의 편지가 1679년 페르마 업적이란 책에 실리게 된다. 나중에 이 세장의 편지는 페르마가 파스칼에게 보냈던 4장의 편지와 함께 재발간 된다. 이는 Smith(1929) 와 David(1962)에 의한 책 'Oeuvres de pascal.' 본에서 영어로 번역되어졌다.

Blaise Pascal (1623-1662)	Pierre de Fermat (1601-1665)

파스칼(1623.6.9∼1662.8.19)

1. 그는 프랑스의 오베르뉴 지역에서 태어났다. 그가 3살 때 어머니는 세상을 떠나셨고 교육에 대한 열정이 강하신 홀 아버지 및에서 자랐다. 그의 아버지는 현재의 관청 세무원 같은 자리에 있었다. 파스칼은 연후에 아버지의 회계업무를 돕기 위해 합과 차가 되는 계산기를 발명한다. 그는 일찍부터 천재로 불리었다. 겨우 12 세였을 때 완전히 자신만의 힘으로 초등 평면 기하학에 대한 많은 정리를 발견했다. 14세 때에는 프랑스 수학자들이 비형식적으로 매주 오이는 집회에 참석하게 되었다. 그 모임은 결국 1666년에 프랑스 과학원으로 발전했다. 그가 16세였을 때, 사용 기하학에서 특별히 풍요로운 '신비의 육망성형' 정리를 발견했다. Aristotelian의 자연에서 진공관에 대한 교리를 반증하는 Galileo 와 Torricelli의 업적에 영감을 받아 파스칼은 1644년 barometric experiments의 수열을 시작한다. 그의 '무게에 관한 진공과 대기에서의 영향력의 존재'에 관한 결론은 그 당시 논쟁의 대상이 되기도 한다.
1640년 그는 남은 생애에 불구로 지내야 하는 병에 고통을 받게 된다. 1651년 그의 아버지가 돌아가신 후 그는 유산을 맡게 되고 1646년 파스칼 가족은 Jansenism으로 개종한다. 그는 남은 여생을 종교적 문제를 생각하며 지냈다. 그는 대조적이며 아이러니 한 사람이었지만 확실히 polemic에서는 비범한 재능을 보였다. 그는 종교와 수학.과학의 입장에서 나눠졌다.

2. 재가 활동은 1650년에 1차 중지되었다. 그 당시 약한 체질 때문에 고통을 받고 있던 파스칼은 수학과 과학에 대한 연구를 포기하고 종교적인 명상에 몰두했다. 그러나 그로부터 3년 뒤 그는 일시적으로 수학연구에 복귀했지만, 1654년 말, 파스칼은 이와 같이 재개한 활동이 신을 즐겁게 하지 않는다는 강력한 암시에 대한 느낌을 믿는다. 이 신의 암시는 그의 난폭한 말이 위일리에 있는 다리의 높은 난간을 부닥뜨려 거의 죽을 뻔한 경험에서 얻어지는데, 그 자신은 거의 마지막 순간에 기적적으로 난간 사이에 끼어 살게 된다. 그 뒤로는 자신의 가슴에 부착하고 다닌 작은 양피지에 쓰인 그 사건에 관한 언급을 도덕적인 지침으로 삼았는데, 그는 충실하게 종교적인 명상으로 되돌아갔다.
파스칼은 그로 1658년에 한번 더 수학으로 되돌아 왔다. 치통으로 심한 고통을 박고 있던 중에, 어떤 기하학적 착상이 그에게 떠올랐다. 그러자 그의 치통이 갑자기 사라졌다. 이것을 신의 의지의 표시로 간주하고, 그는 8일 동안 부지런히 자신의 생각을 발전시켜서 사이클로이드 곡선에 대한 매우 완벽한 결과를 얻게 되었다.

3. 파스칼의 삼각형


Pascal's arithmetkc triangle 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1

4. 파스칼에 대한 평판 :
파스칼은 수학사에서 가장 위대한 '인물이 될 수이었던 사람'으로 불러 왔다. 그와 같은 비범한 재능과 그와 같은 날카로운 기하학적 통찰력을 가진 그는 훨씬 더 많은 업적을 남겼을 것이다. 불행하게도, 그는 생애 대부분을 심한 신경통에 의한 신체적인 고통과 종교적인 신경증에 의한 고통스러운 정신적인 고뇌로 시달리는 데 보냈다.

페르마

1. 파스칼의 짧고 불안하며 고통스러운 인생과 비교해서, 페르마의 인생은 적당하게 길고 평화스러우며 유쾌하고 연속적으로 생산적이었다. 페르마는 1601년에 남부의 부유한 상인의 아들로 태어났다. 파스칼과 마찬가지로 그는 초기 교육을 가정에서 받았다.
그는 대학에서 법학을 전공하여 졸업 후에는 줄곧 변호사로 지냈다. 그는 수학을 취미로 했다. 그러니까 그는 수학에 있어서는 아마추어인 셈이었다. 그는 다방면으로 박식하였고 수학에 있어 많은 유력한 수학자들과 서신을 통해 증명 없이 결과를 내놓곤 했다. 그런 이 천재에게도 고민이 있었는데 그는 다른 수학자로부터 출판한 서적이 없다며 비난을 받았다. 그리하여, 1654년 8월 9일 그는 Carcavi 과 Pascal 에게 그의 생각을 정리하고 덧붙이는 작업 후 출판해 줄 것을 요청하지만 거절당한다. Descartes와는 독립적으로 그는 분석기하학에 대한 토대를 마련하였지만 Descartes보다 영향력이 있는 것도 아니어서 Descartes의 것보다 중요시 여겨지지 않았다. 페르마는 1665년에 카트레에서 매우 갑작스럽게 죽었다. 그의 무덤은 원래는 툴루즈에 있는 아우구스티누스교회에 있었는데, 그 뒤에 지방 박물관으로 이장되었다.

2. 페르마의 업적
Fermat는 두 변수에서의 두 번째 순서의 다항식에 대해 논의하였고, 중심부분으로 알려진 커브와 상관관계를 문제화했다. 또한 1차 방정식에 대응하는 도형은 직선이고, 2차 방정식에 대응하는 것은 원뿔곡선이라는 사실을 발표하였고 데카르트의 경우처럼 2개의 좌표축을 사용해서 직선과 원 타원 쌍곡선 포물선 등의 원뿔곡선의 방정식을 이끌어냈다. 그 뿐만 아니라 1차,2차 방정식의 일반적인 형태에 관한 연구와 함께 원점의 이동이라든지, 축의 회전에서 일어나는 좌표의 변환을 다루었다. 지금의 중학생들이 배우는 수직선상의 점의 좌표를 도입산 것도 페르마이다. 그는 계산기의 기초를 논하였고 sum를 비롯한 공식들을 내놓았지만, 증명을 하진 않았다. 후세사람들은 숫자에 있어서의 분배 이론을 그의 주요업적으로 꼽는다. 당시의 많은 지도적인 수학자와 과학에 대한 서신 왕래를 가졌으며, 이와 같은 방법으로 그 시대 사람들에게 상당한 영향을 주었다.

3. 페르마에 대한 평판:
페르마에 대한 평판은 그리 좋지 만은 않다. 그를 칭송하는 이들은 이렇게 말한다.
「그의 수학에 대한 다양한 공헌 중에서도 가장 뛰어난 공헌은 현대적인 수론을 창시한 것이다. 수론에 있어서 그는 비범한 통찰력과 최고롤 인상적인 능력을 보였기 때문에, 그는 전 시대에 걸쳐서 가장 뛰어난 수론학자의 한 사람으로 꼽힌다.」
그러나 그를 달갑지 않게 생각하는 자들은 앞에서 말하였듯이 증명없는 정리들만 두서없이 내놓은 아마추어로만 생각한다.

4. 페르마의 최종 정리
「 에서 n이 3 이상의 자연수일 때, 이 관계를 만족하는 자연수 a,b,c, 는 존재하지 않는다. 」를 쓰면서 증명을 쓸 자리가 없어서 적을 수 없다고 남겼다. 그 후 300년 이상이나 내노라하는 수학자들이 이 정리의 증명에 도전하였다. 그러나 아무도 성공하지 못하였다. 이것은 1997년에 미국의 한 학자에 의해 증명되었다.

질문)

파스칼과 페르마가 교환한 서신을 조사하여 보자.
페르마 정리를 증명한 학자에 관한 기사를 수집하여보자.