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1. 최소제곱법 발견의 의의 :1632년 갈릴레오의 Dialogo에서 제시된 확률오차의 분포에 대한 개념에서 시작하여 1805년 르장드르(Adrien Marie Legendre, 1752-1833)의 오차 제곱합을 최소화 하는 최소제곱법이 등장하기까지는 170년 이상의 세월이 흘렀다. 르장드르 한 개인에 의해서 최소제곱법이 제시되고 개발되었다기 보다는 마이어의 달의 칭동에 관한 분석, 라플라스의 목성과 토성의 비 주기적인 기복현상에 대한 분석을 통하여 제시된 연구결과들에 의한 지식의 축적이 가져온 결실이었다. 즉 최소제곱법은 다음과 같은 18세기 과학이 안고 있던 중요한 문제를 해결하는 과정의 연구들에게서 맺어진 산물이었다. |
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18세기 과학계의 세가지 중요한 문제:
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2. 르장드르에 대하여 여기서 잠깐 르장드르를 소개 하기로 하자 프랑스의 수학자. 툴루즈 출생. 파리의 종교학교에서 교육을 받았다. 1775년 파리의 육군사관학교 교수가 되었고, 83년 아카데미 프랑스츠의 회원이 되었다. 또 에콜 폴리테크니크(이공과대학)의 시험관 및 측지감독관 등을 지냈다. 타원적분·오일러 적분 등의 적분학과 유클리드기하학의 기초 및 최소제곱법, 측지학 등에 걸쳐 많은 업적을 남겼는데, 1798∼1830년의 《정수론(整數論)》에서는 ‘2차 상반법칙’의 공식을 정립하여 그의 이름을 붙인 제곱잉여에 관한 기호(Legendre’s symbol)를 남겼다. 1806년 《최소제곱법에 관하여》에서 ‘최소제곱법’을 K.F.가우스에 앞서 발표하였고, 25∼26년 《타원함수론》에서 이른바 퍼텐셜(potential)의 개념으로 불리는 ‘르장드르함수’를 도입한 ‘타원적분’의 분류를 논하고 있는데 이는 19세기에 있어서의 타원함수론 발전의 선구가 되었다. 그의 저서 《적분학 연습》 《타원함수론》 《오일러 적분론》 등은 오랫동안 교과서로서의 권위를 지켜 왔는데 특히 《기하학의 요소들》는 근대적인 초등기하학의 교과서로서 각국어로 번역되었으며, 또한 삼차원 조화함수와 관련되는 구함수(球函數)에 대하여 그의 이름을 붙인 미분방정식은 유명하다. 3. 가우스와의 논쟁 Gauss는 1795년 이후 최소 제곱법을 주로 천문학에 이용하였지만 최소 제곱법에 관한 최초의 설명을 볼 수 있는 것은 Gauss의 저작이 아니라 1805년 르장드르의 [혜성의 괘도 결정을 위한 새로운 방법]에서다. 그는 다음과 같이 언급하고 있다. "이 목적을 위하여 제안할 수 있는 모든 원리 중에서 앞에서 논의한 원리 즉, 오차 제곱합을 최소로 하는 것만큼 간단한 것은 없다." 그는 이 원리를 명확히 정식화하여, 관측치로부터 가장 정확한 결과를 얻을 필요가 있는 물리학이나 천문학의 각종 문제에 있어서 매우 유용함을 역설하였다. 최소제곱법이라는 명칭을 처음 사용한 사람도 그였다. 그러나 최소 제곱법의 원리는 이미 Gauss가 1794년에 발견하였다. 최소 제곱법의 기본적 착상은 1794년 가을 Gauss가 Lam'bert, Johann Heinrich (1728-1777)의 "수학의 필요성에 대한 기여와 응용(1765)"이란 책 제1권에 있는 여분의 관측치를 다루는 방법부분을 읽고 있을 때라고 한다. 최소 제곱법을 스스로 연구에 수년간 이용해 왔지만 Gauss가 저작으로 최소 제곱법을 다룬 것은 1809년 "천체 운동론"에서 처음이다. 이 책에서 다음과 같이 설명하고 있다. [그런데 우리의 원리는 1795년부터 계속 사용해 온 것이지만 최근 Legendre가 "혜성의 괘도 결정을 위한 새로운 방법( Paris, 1806)"이란 저서에서 체계를 잡았다. 그 책에서 이 원리의 다른 많은 특성도 설명하고 있다...]. 가우스의 글로부터 르장드르는 엄청난 분개를 느끼고 다음과 같은 편지를 보내게 된다. [혜성에 관한 논문에서 내가 최소제곱법이라 칭한 방법과 같은 방법에 생각이 다다른 것을 알고 기쁘게 생각합니다. 이 방법을 생각하는 데는 천재적인 노력을 필요로 하지 않습니다. 그렇지만 같은 목적으로 지금까지 이용 되어온 방법, 특히 Laplace,Pierre Simon De(1749-1827)씨의 방법은 당신이 비판하고 있듯이 불완전한 것으로 많은 곤란에 빠져 있다는 것을 생각하면 나는 이 작은 발견에 아무튼 가치를 부여하고 싶습니다. 그러하기 때문에 말씀드리자면 221쪽에서 나의 연구를 인용시 1795년 이래 우리가 이용해온 원리라 당신이 주장하고 있는 것을 보고 유감스럽게 생각했습니다. 같은 것을 수년 전에 발견했다고 주장하므로써 자신의 권리를 요구할 수 없다는 것은 아닙니다. 그러나 발견을 공표한 장소와 증거가 없다면 주장은 무의미하며 진정한 발견자에 대한 잔혹한 채칙질이 됩니다. 수학에서는 이미 다른 사람이 발견하여 잘 알려져 있는 같은 사실을 발견하는 일이 자주 있습니다. 나에게도 여러 차례 있었습니다. 그러나 나는 지금 까지 그것이 관하여 귀찮게 한 적도 없으며, 하물며 다른 이가 나보다 먼저 발표한 원리를 우리의 원리라 부른 적도 없습니다. 당신은 타인을 부러워할 필요가 없을 정도로 충분한 학문적 자산을 가지고 있습니다. 나는 당신의 표현만에 대하여 불평을 하는 것이지 다른 뜻은 없습니다.] 이와 더불어 그들 사이의 논쟁에 끼어든 라플라스(중심극한 정리를 제안 나중에 다루어 진다)와 가우스간의 편지를 더 소개하기로 하자. 라플라스가 Gauss에게 쓴 편지 - 1811년 11월 5일 [당신은 타원운동에 관한 저작에 있어 Legendre씨가 공표하기 전에 이미 최소제곱법에 정통하고 있었다고 주장하고 있습니다. Legendre씨의 저작이 출판되기 전에 이 방법에 관한 독일어로 된 어떤 것이 있는지 알고 싶습니다. 연락 주십시요.] Gauss가 라플라스에게 쓴 답장 - 1812년 1월 30일 [나는 1795년 이후 최소제곱법을 이용하여 왔고, 1798년 6월에는 최소제곱법을 확률계산과 관계를 지은 시기임을 논문을 통하여 알 수 있습니다. 이것에 관한 간단한 기록은 1796년부터 써온 수학일기에 있으며 당시 린데나우씨에게 그 기록을 보여 주었습니다. 그러나 제가 이 방법을 빈번히 응용하게 된 것은 1802년 이후 입니다. 그 이후로 이 방법을 신 혹성에 관한 천문학계산에 매일 이용한다는 것은 아시는대로 입니다. 그때 이후로 지금까지 광범위에 걸친 연구에서 이용하여온 모든 방법을 종합하여 하나로 모으려고 생각하고 있었기 때문에(1805년에 쓰기 시작하여 최초 독일어판 원고는 1806년에 완성했지만 페르테스씨의 요구로 뒤에 이 원고를 라틴어로 번역하여 1807년에 인쇄개시, 완성한 것은 결국1809년이 되어서입니다.) 서둘러 일부만을 공개할 마음이 없었습니다. 따라서 Legendre씨의 책이 저보다 먼저 출판되게 된 것입니다. 그러나 저는 이 같은 방법을 이미 Legendre씨 저서보다 꽤 오래전에 몇 사람에게 전해주었습니다. 우선 1803년에 이 일을 알은 오르벨스씨는 저의 내용을 반드시 기억하고 있으리라 생각합니다. 그러므로 나는 [천체운동론]에서 최소제곱법을 논의할 수 있는 것입니다. 이 방법은 과거 7년간 수천회나 응용해온 것이고, Legendre씨의 저작보다 꽤 오래전에 적어도 이 책의 독일어 원고 제2권 제3절에 이 이론을 발전 시키고 있습니다. 만약 내 방법이 Legendre씨의 연구에서 유도된 것이라면 이 원리는 내가 준비하고 있는 연구의 일부분을 구성한다고 1803년에 몇 명의 아는 사람에게 알리고 이 원리에 관하여 논의할 수가 있었을까요? Legendre씨는 그가 발견하기 이전에 이미 이 방법을 이용하고 있었다는 나의 주장에 화를 내고 있는 것 같으나 오히려 이 원리가 100년전에 생각되지 못했다는 것이 놀라운 일로 이런 단순한 원리에 매우 큰 가치를 줄 수 있다고 생각하는 Legendre씨의 사고에 찬성할 수 없습니다. 실제 논쟁할 만한 가치가 있다면 구박할 여지도 없는 증거로 최소원리의 최초발견자는 나라는 것을 누구에게라도 증명할 수 있습니다. 그러나 그렇게 하지 않아도 나를 알고 있는 사람은 내 말을 믿어 줄 것으로 생각합니다. 그것은 바로 만약 Legendre씨가 1795년 이전에 이 방법에 정통하고 있었다고 증명되면 마음으로부터 그것을 믿는다는 것과 같습니다. 나의 논문안에는 아마 최초로 공표되어야만 하는 기회를 잃었을지 모른다는 내용이 많이 있습니다. 그렇다고 하여도 나는 우선권보다도 그것들이 성숙됨을 기다리고 싶습니다.] 아무튼 르장드르와 가우스 사이의 논쟁을 통하여 내릴 수 있는 결론은 르장드르는 끝까지 Gauss는 신의가 없는 사람이다라고 말하였다. 내용이 성숙될 때가지 발견을 공표하지 않고 우선권에는 무감각했던 Gauss와 같은 사람은 Legendre의 이해를 초월해 있었던 것이다. 공표된 저작만으로 우선권의 판정이 되면 Legendre의 1805년의 저작이 최소제곱법에 대한 최초 출판물이다. 그러나 편지나 노-트등을 포함하여 아이디어, 원리의 발전을 역사적으로 추적해가면 역시 최소 제곱법의 발견자는 Gauss라는 사실은 의심의 여지가 없다. 참고) 마이어(John Tobias Mayer, 1723-1762)는 달의 秤動(libration)으로 달 표면의 60% 정도를 본다는 것을 주장했는데 이는 갈릴레오가 달의 회전 축이 지구의 자전궤도와 수직이 아니라는 데 바탕을 두고 있었다. 그가 최종적으로 얻은 르장드르 형태의 방정식의 (g, h, k)를 27번의 관측하여 정리한 표가 아래에 있다. 이 방정식을 alpha 계수의 크기에 따라 9개의 방정식으로 구성된 세 그룹 I, II, III 으로 나누어 오차 개념(오차는 관측치 수에 비례한다)을 도입하고 각 그룹별로 9개식으로부터 구해진 미지수의 값은 9배 정확하여 오차를 줄일 수 있다고 생각한 그의 생각은 통계학의 역사에 큰 이정표가 되었다.
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