통계학사 강의 8)

강의 8) 베르누이 가족(Bernoulli's Family)

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1. 베르누이 가족은 바젤(Basel:스위스 서북구 라인강변의 도시)이라는 곳에서 상인, 정치가, 예술가, 언론인, 수학자, 과학자를 배출한 명문으로 확률론에 많이 기여하였다.

세계적인 수학자가 한 가문에서 한 명 나오기도 힘드는 일인데 베르누이(Bernoulli) 가문은 100년 동안 세계적인 수학자를 8명이나 배출한 집안으로 유전학자들의 관심 대상이 되고 있다. 베르누이 가문은 17세기말부터 시작하여 18세기 한 세기 동안 유럽의 수학계를 주름잡았던 것이다

Nicholas Bernoulli(1623-1708)에게는 유명한 James (Jakob,Jacques,Jacob으로도 불려졌다. 1654-1705), Nicholas (1662 -1716), John (Johann, jean 으로도 불려졌다. 1667-1749) 세 아들이 있었다. 이 중에서 야곱 베르누이는

1667년에 theology로 학위를 하고 철학, 수학, 천문학을 전공하였다.

1681년에는 두번의 해외여행으로 네덜란드와 영국을 돌아 보고 보일과 후크와도 교제하였다.

1687년에는 수학교수가 되었고 조카인 Nicholas (1687-1757)와 동생인 John(요한의 수제자가 파이, 시그마, 자연대수의 밑, log, sin, cos 등의 수학기호를 발명한 유명한 수학자 오일러(L. Euler : 1707-1783)이다).도 학생이었다 한다.

1690년에는 라이프니츠(그는 베르누이 형제가 자기와 함께 미적분학의 건설자라고 말하고 있다.)

, 호이켄스와 교분을 나누었고 함께 오늘날 미,적분형태를 개발. 갈릴레오, 케플러로부터 시작된 과학의 수학화는 체계적이고 공식화되어 이루어진다. 특히 확률론에 끼친 그의 업적은 대단히 중요하다.

2. 1713년 야곱 베르누이의 사후 그의 생각을 The Ars Conjectandi(The Art of Conjecturing) 이라는 제목으로 조카인 니콜라스는 다음의 짧은 서문을 달고 요한의 감독아래 출간 한다,

I was too young and inexperienced to know how to complete it ... I advised the printers to give it to the public as the author left it.

특히 조카인 니콜라스는 이 원고로 학위를 취득하며 Hacking (1975) 은 야곱 베르누이의 업적을 확률에 대한 수학적 이론의 효시이며 동시에 확률개념 출현의 끝이라 대단히 호평한다.

3. 여기서 야곱 베르누이의 생각을 정리하기로 하자.

한 사건(event)의 상대돗수는 적은 관측치 보다는 많은 관측이 있다면 참에 가깝다. 이는 사건의 알지 못하는 비율에 대하여 증거를 축적하면 할수록 그 비율에 대하여 더욱 확실한 지식을 얻을 수 있다는 점이다.

베르누이의 대수의 약법칙 (Poisson이 1837에 이를 수학적 체계를 갖추어 정리하고 완성한다): n번 독립시행에서 각각 성공할 확률을 P라 하자. S_n = 성공 횟수, S_n / n = 상대 돗수라 하면

예) 당시 그는 한 예에서 대수의 약법칙을 만족하는 n=25,550임을 계산해내었는데 이 수는 Basel시의 총인구보다 크며 당시 별의 수는 고작 3,000개 (1725, Flamsteed)임이 알려져 있었다. 따라서 무한대에 가까운 수로 인하여 20년 동안의 연구를 출판하는 것을 망설였다. 이후 n=5,700이면 정규근사(Normal Approxi- mation)함을 이야기하게 된다.

이 예를 통하여 비록 그의 bound가 섬세하지 못하다(r과 s가 알려져 있지 않았다) 할 지라도 "n을 충분히 크게하면 p안에 들어 올 것이다."라는 생각은 추론의 한 방식을 제공함

NOTE) 확률론의 수리적 전개의 예는 17세기 말 Game of chance 으로 알려지기 시작 하였다. 일반적으로
Given r red balls and w white balls, what is the prob. of observing...?
붉은 공이 꺼내질 확률 = 사전확률.
미지의 상자에서 반복해서 공을 꺼낼때 공의 비율을 추정 = 사후확률.
갑, 을 주머니로 부터 100원이 나왔을 확률

질문)

야곱 베르누이의 대수의 약법칙(Weak Law of Large Numbers )에 대해서 조사해 보자.

대수의 강법칙(Strong Law of Large Numbers)에 대해서 알아 보자.

야곱과 그의 동생 요한과의 다툼은 어떤 이유로 생겼나?